Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

1. Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + + 100 Giải: Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101. 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1) Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B Bài tập tự luyện Chứng minh rằng: a) a5 – a chia hết cho 5 b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24 d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 e) 20092010 không chia hết cho 2010 f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9 Dạng 2: Tìm số dƣ của một phép chia Bài 1: Tìm số dƣ khi chia 2100 a) cho 9, b) cho 25, c) cho 125 Giải: a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1 Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 – 1)33 = 2.[B(9) – 1] = B(9) – 2 = B(9) + 7 Vậy: 2100 chia cho 9 thì dƣ 7 b) Tƣơng tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) – 1]10 = B(25) + 1 Vậy: 2100 chia chop 25 thì dƣ 1 c) Sử dụng công thức Niutơn: 2100 = (5 – 1)50 = (550 – 5. 549 + +\frac{50.49}{2} . 52 – 50 . 5 ) + 1 Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: \frac{50.49}{2} . 52 – 50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1 Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dƣ 1 Bài 2: Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phƣơng đó chia cho 6 thì dƣ bao nhiêu?
2. Bài 1: Tìm n Z để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 – 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 – n Giải: Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 – 3n + 2 = (n + 3)(n2 – n) + 2 Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 – n = n(n – 1) do đó 2 chia hết cho n 1 – 1 2 – 2 n – 1 0 – 2 1 – 3 n(n – 1) 0 2 2 6 loại loại Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 – 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 – n thì n ∈ {-1;2} Bài 2: a) Tìm n ∈ N để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1 b) Giải bài toán trên nếu n ∈ Z Giải: Ta có: n5 + 1 \ n3 + 1 ⇔ n2(n3 + 1) – (n2 – 1) \ n3 + 1 ⇔ (n + 1)(n – 1) \ n3 + 1 ⇔ (n + 1)(n – 1) \ (n + 1)(n2 – n + 1) ⇔ n – 1 \ n2 – n + 1 (Vì n + 1 ≠ 0) a) Nếu n = 1 thì 0 \ 1 Nếu n > 1 thì n – 1 < n(n – 1) + 1 < n2 – n + 1 nên không thể xảy ra n – 1 \ n2 – n + 1 Vậy giá trị của n tìm đƣợc là n = 1 b) n – 1 \ n2 – n + 1 ⇒ n(n – 1) \ n2 – n + 1 ⇔ (n2 – n + 1 ) – 1 \ n2 – n + 1 ⇒ 1 \ n2 – n + 1. Có hai trƣờng hợp xảy ra: + n2 – n + 1 = 1 ⇔ n(n – 1) = 0 + n2 – n + 1 = -1 ⇔ n2 – n + 2 = 0 (Vô nghiệm) Bài tập tự luyện: Tìm số nguyên n để: a) n3 – 2 chia hết cho n – 2 b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1 c)5n – 2n chia hết cho 63 Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết Bài 1: Tìm n ∈ N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7 Giải: Nếu n = 3k ( k ∈ N) thì 2n – 1 = 23k – 1 = 8k – 1 chia hết cho 7 Nếu n = 3k + 1 ( k ∈ N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1 Nếu n = 3k + 2 ( k ∈ N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3 Vậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3 Bài 2: Tìm n N để: a) 3n – 1 chia hết cho 8